раздел математической статистики (См. Математическая статистика), посвященный построению уточнённых выводов о численных значениях приближённо измеренных величин, а также об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, различные результаты, так как каждое измерение содержит некоторую ошибку. Различают 3 основных вида ошибок: систематические, грубые и случайные. Систематические ошибки всё время либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений и происходят от определённых причин (неправильной установки измерительных приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на измерения и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематических ошибок производится с помощью методов, выходящих за пределы математической статистики (см. Наблюдений обработка). Грубые ошибки возникают в результате просчёта, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, сильно отличаются от других результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные ошибки происходят от различных случайных причин, действующих при каждом из отдельных измерений непредвиденным образом то в сторону уменьшения, то в сторону увеличения результатов.

О. т. занимается изучением лишь грубых и случайных ошибок. Основные задачи О. т.: разыскание законов распределения случайных ошибок, разыскание оценок (см. Статистические оценки) неизвестных измеряемых величин по результатам измерений, установление погрешностей таких оценок и устранение грубых ошибок.

Пусть в результате n независимых равноточных измерений некоторой неизвестной величины а получены значения x₁, x₂,..., x_n. Разности

δ₁ = x₁ - a,..., δ_n = x_n - a

называются истинными ошибками. В терминах вероятностной О. т. все δ_i трактуются как случайные величины; независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин δ₁,..., δ_n. Равноточность измерений в широком смысле истолковывается как одинаковая распределённость: истинные ошибки равноточных измерений суть одинаково распределённые случайные величины. При этом математическое ожидание случайных ошибок b = Eδ₁ =...= Еδ_n называется систематической ошибкой, а разности δ₁ - b,..., δ_n - b - случайными ошибками. Таким образом, отсутствие систематической ошибки означает, что b = 0, и в этой ситуации δ₁,..., δ_n суть случайные ошибки. Величину , где а - Квадратичное отклонение, называют мерой точности (при наличии систематической ошибки мера точности выражается отношением . Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для некоторых отдельных измерений. В качестве оценки неизвестной величины а обычно берут арифметическое среднее из результатов измерений

,

а разности Δ₁ = x₁ - x̅,..., Δ_n = x_n - x̅ называются кажущимися ошибками. Выбор x̅ в качестве оценки для а основан на том, что при достаточно большом числе n равноточных измерений, лишённых систематической ошибки, оценка x̅ с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины а (см. Больших чисел закон); оценка x̅ лишена систематической ошибки (оценки с таким свойством называются несмещенными); дисперсия оценки есть

Dx̅ = E (x̅ - а)² = σ²/n.

Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки δ_i подчиняются распределениям, близким к нормальному (причины этого вскрыты так называемыми предельными теоремами (См. Предельные теоремы) теории вероятностей). В этом случае величина x̅ имеет мало отличающееся от нормального распределение, с математическим ожиданием а и дисперсией σ²/n. Если распределения δ_i в точности нормальны, то дисперсия всякой другой несмещенной оценки для а, например медианы (См. Медиана), не меньше Dx̅. Если же распределение δ_i отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места.

Если дисперсия σ² отдельных измерений заранее известна, то для её оценки пользуются величиной

(Es² = σ², т. е. s² - несмещенная оценка для σ²), если случайные ошибки δ_i имеют нормальное распределение, то отношение

подчиняется Стьюдента распределению (См. Стьюдента распределение) с n - 1 степенями свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближённого равенства а ≈ x̅ (см. Наименьших квадратов метод).

Величина (n - 1) s²/σ² при тех же предположениях имеет распределение χ² (см. "Хи-квадрат" (См. Хи-квадрат распределение) распределение) с n - 1 степенями свободы. Это позволяет оценить погрешность приближённого равенства σ ≈ s. Можно показать, что относительная погрешность |s - σ|Is не будет превышать числа q с вероятностью

ω = F (z₂, n - 1) - F (z₁, n - 1),

где F (z, n - 1) - функция распределения χ²,

, .

Лит.: Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968.

Л. Н. Большев.